金融数理の基礎 week8

シュリーヴの本も，第３章でやっと状態価格の概念が出てきましたね。ファイナンス理論の基礎では初回から出てきた概念ですが，確率過程側からのアプローチではどのように取り扱われるのか楽しみでしたね。

というか，予習段階ではまったくなにがなにやらわからなかったのですが，中川先生の授業で非常によくわかりました！

また，背後にあるべき数学を感じることができたと勝手に思っています。この本は第Ⅰ巻は飽くまで２項モデルを離れないのですが，おそらく連続時間モデルに行くとこのような数学があるのだろうと勝手に理解してみました。
かなーり，適当で自分自身でも検証してないので，半分くらいしかあってないだろうけど。（笑


確率変数と確率測度の関係が条件付期待値になるのでしょう。空間に計量を与えるイメージ。
そうなると異なる確率測度のもとでも確率変数は不変だから，確率測度が異なれば条件付期待も異なるわけ。その異なる確率測度の変換公式がラドン＝ニコディム微分になるんでしょう。期待値は積分で確率測度が積分変数，なので変換公式は微分，みたいな。
ここまでは数学で，異なる確率測度があれば，その間にラドンニコディム微分があるというだけの話。空間の計量をかえりゃ，そりゃ内積も変わるし，期待値も変わるさ，みたいな。
ところが，ここに物理があるのです。いや，ファイナンスがあるのです。
無裁定である派生証券を表現する確率変数には，リスク中立確率密度という割引価格がマルチンゲールになる測度が存在するという共通の性質が存在するわけ。これはおそらく非常に大事なもので…
数学的には世の中の証券はセミマルチンゲール性を持つものに限られると表現すべきで，限られるということがファイナンス，物理なわけ。というか，無裁定であるということ自体が本質的な原理なわけですね。
そうなると，リスク中立確率測度と実確率測度というのはある意味等価なもので，両方とも本質的なものなわけ。
そうなると実世界をリスク中立確立測度側の表現で見てみようという考え方がぞくぞくと出てくると。
それが状態価格だったり，状態価格デフレーターだったり…
…みたいな感じ。多分，半分くらいあってる。てか，ちゃんと整理すれば，説明するまでもない当然のことになる気がする。
いつか勉強してみたいね。暇があれば。（笑

かすってるだけかもしれないし，有識者が見れば上の文章は意味不明かもしれないけど，おそらく俺がすべて理解したときには，やっぱり合ってた！と思うのは間違いないと思うね♪